Aplicación del límite matemático en las Ciencias Agrícolas

Introducción

Las ciencias agrícolas se componen de un conjunto de conocimientos de diversas áreas del saber cómo la matemática aplicada, la física o la química, estas ciencias permiten poner en practica sus conceptos en el cultivo de la tierra. En el caso particular de las matemáticas su uso trasciende a todas las ciencias, sin embargo, en el campo agrario resultan una herramienta de vital importancia para la resolución de diversos problemas sea desde el álgebra, la geometría o el cálculo.

Con respecto a este último nace de las mentes prodigiosas de Newton y Leibniz en el último tercio del siglo XVII de forma independiente, tras unificarse en dos conceptos generales, la integral y la derivada, desarrollaron un simbolismo que originó entre teoremas las reglas formales del “cálculo” aplicables a funciones algebraicas aplicables y trascendentes (Martins, 2010).

El punto de partida fue la definición misma de función en conjunto con el concepto de continuidad y con él, el concepto de limite; concepto que empieza sus orígenes con John Wallis en el siglo XVII y que diera punto de partida a Louis Cauchy (1821) quien define en su “Cours d´analyse algébrique” al límite de una función de la siguiente manera:

“Cuando los valores atribuidos sucesivamente a una variable se aproximan indefinidamente a un valor fijo para llegar por último a definir de este valor en una cantidad tan pequeña como se desee, entonces dicho valor fijo recibe el nombre de límite de todos los demás valores”.
(Izumorin, 2012)

El concepto se fue puliendo con el épsilon y delta (números reales próximos a cero) de Karla Weierstrass. Finalmente, los valores de una determinada función f(x) se aproximan a un limite L a medida que x se aproxima a un numero constante (a) si el valor absoluto de la diferencia entre f(x) y L se puede hacer tan pequeño como queramos tomando x suficientemente cerca a a, pero no igual a a, definido formalmente en la formula siguiente (Leithold, 1978).

El límite se define también como un valor de frontera, su utilidad radica en la posibilidad de delimitar puntos específicos en una función. En este articulo titulado ¨Aplicación del límite matemático en las Ciencias Agrícolas¨ se indaga de diversas fuentes de consulta acreditadas las diferentes aplicaciones del concepto y aplicación de los límites matemáticos en las ciencias agrícolas, considerando a esta una especialidad técnica fundamentada en las ciencias exactas.

Aplicación del límite matemático en las Ciencias Agrícolas

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El fundamento de límites sustenta una parte del cálculo en los sistemas agrarios, las aplicaciones son variables y en su mayoría implica límites de cálculo directo, es decir, explícitos cuyo tratamiento implica la utilización de los teoremas básicos del Límite y la continuidad.

El presente documento recopila de fuentes contrastadas la utilización de limites en:

• Cálculo de errores en equipos de control de sistemas agropecuarios de producción.
• Límites en sistemas biológicos (poblaciones) son limites que tienen al infinito por ser funciones de tiempo de crecimiento o decrecimiento poblacional.

Límites y su aplicación en sistemas de control

Un sistema agrícola de producción de alimentos de calidad centrado en métodos respetuosos con la salud humana y el medio ambiente requiere de un control prolífico de los insumos y fertilizantes que se emplean en la producción. Los objetivos mundiales plantean minimizar el uso de productos agroquímicos de esta manera se prevé optimizar los métodos de producción y la disminución de residuos .

En el pasado los controles en los sistemas productivos eran cien por ciento manuales e implicaban técnicas matemáticas para la generación de datos para informes en fincas e invernaderos. Gracias a la revolución tecnológica actualmente existen softwares destinados al ordenamiento de datos obtenido en el agro, la mecatrónica ha desarrollado estos sistemas y aplicaciones desde la tabulación procedente de variables de entrada, el sistema y variables de salida.

Un sistema de control se caracteriza por una serie de elementos que pueden incidir en el funcionamiento del sistema. Si consideramos al sistema agropecuario como objeto de estudio sabremos que en el campo existen muchas condiciones que implican una toma constante de datos por ejemplo la luz, la lluvia, el viento, el color, el pH, la humedad, etc. son tan solo una muestra de las múltiples variables que puede tener un sistema agropecuario.

Ilustración 1. Sensor luminoso.

El cálculo fundamenta el desarrollo de la programación en los instrumentos de control agrario, por ejemplo, en sensores, controladores o displays cuya finalidad es obtener datos para la determinación de errores de estado estacionarios en un sistema, el sistema se entiende como una función de transferencia Y(s) que para el caso de sensores depende de una señal de salida G(s) y una de entrada R(s), que según Miranda (2017) sigue la siguiente función:

Para estas funciones se define el error de estado estacionario de posición (es decir la diferencia entre la salida esperada y salida obtenida) por la expresión:

Como se puede apreciar el autor propone la medida de un sensor cuya señal de entrada y de salida permiten determinar un error estacionario fundamentado en el limite de tolerancia designado formalmente en las funciones que maneje el operador.

Las funciones son dos tanto para valores de entrada y salida medidos por el sensor:

Para calcular el límite de cada función:

El error esta dado entonces:

El autor propone este ejemplo como para identificar un error de 0 cuando el parámetro ese tiende idealmente a 0, en la experimentación la tendencia tiene valores dados por el operador y errores más significativos.

Para la segunda función el límite será dado por:

El error esta dado entonces:

En torno a esta temática los prototipos salen de la idealidad y dependiendo de la variable a medir van adquiriendo funciones más complejas para la determinación de errores y parámetros más complejos de determinar adentrándose en el campo de la mecatrónica y la programación.

LÍMITES EN SISTEMAS BIOLÓGICOS

Según Alberto & Cadena (2007), es muy importante saber detectar la continuidad y discontinuidad de una función ya que cuando estos representan una magnitud real, en el caso de una discontinuidad puede representar fenómenos relevantes como una explosión un choque, un corte o una intersección discontinua en una parcela, esto puede afectar notoriamente en el modelo matemático planteado.

Por otra parte, el análisis asintótico predice el comportamiento de una fusión, en biología esta puede representar el crecimiento poblacional de una especie, en agronomía una especie vegetal, que en las proximidades de los puntos de un modelo matemático no está definido.

La principal utilidad en sistemas biológicos es el límite para análisis de poblaciones en función del tiempo y la determinación de extinción de especies así lo menciona (Departamento de Ecuaciones Diferenciales, 2016) como lo muestra el siguiente ejercicio de aplicación.

EJEMPLO MODELO DE APLICACIÓN DE LÍMITES E POBLACIONES:

La población de una especie sigue la siguiente función P(t):

Donde P(t) es el número de individuos de la población (medida en miles) y t el tiempo (medido en meses) y a es una constante positiva.

1. a) Calcular a sabiendo que inicialmente había 3000 individuos.
2. b) ¿En qué momento alcanza la población un máximo? ¿Cuánto es el valor de dicho máximo?
3. c) ¿A qué tiende la población en el futuro?
4. d) Si se sabe que una población está en peligro de extinción cuando el número de individuos es menor que 1000, ¿tiene esta población peligro de extinción?

RESOLUCIÓN:

a) Tenemos que ver para qué valor de a se tiene

P(0) = 3 (3000 individuos) ⇐⇒ a = 3

b) El máximo absoluto de:

en el intervalo [0, +∞) sólo puede ser un máximo relativo o el punto t = 0.

Veamos si P tiene algún máximo relativo:

Claramente se tiene, puesto que e^−t/2 > 0 ∀t ∈ R, que:

Luego P tiene un máximo relativo en t = 2 que, claramente, es también máximo absoluto en [0, +∞).

El máximo absoluto de P en [0, +∞) se alcanza en t = 2 y P(2) ≈ 3.736 (3736 individuos).

IMPLICACIÓN DEL LÍMITE EN EL EJERCICIO

c) Para ver a qué tiende la población tenemos que calcular:

Lo que significa que la población tiende a estabilizarse en 3000 individuos

d) Obviamente, no hay peligro de extinción:

• P(0) = 3 y P es creciente entre t = 0 y t = 2.
• P es decreciente en (2, +∞), pero no desciende del valor 3, al que tiende asintóticamente.

Es decir, la población no desciende de 3000 individuos.

Conclusión

Los límites se encuentran presentes en las ciencias exactas como una herramienta que permite establecer un valor referencial que se toma en las ordenadas cuando nos acercamos a un determinado valor en la abscisa, pero este no es tomado.

Las ciencias agrícolas emplean el concepto de límite indirectamente en los sistemas y software que se usan para control biológico y de los sistemas de producción.

El concepto de límites al infinito ampliamente empleado y aceptado en el análisis demográfico  (poblacional) de una determinada especie en función del tiempo.

Referencias bibliográficas

Alberto, A., & Cadena, Z. (2007). “ Matemáticas Aplicadas a la Ingeniería ”.

Departamento de Ecuaciones Diferenciales. (2016). Matemáticas Aplicadas a la Biología. Recuperado de http://departamento.us.es/edan/php/asig/GRABIO/GBM/ColeccionEjercicios.pdf

Izumorin. (2012). Concepcion del proyecto (p. 17). p. 17. Recuperado de https://es.slideshare.net/izumorin/presentacin-historia-del-concepto-de-limite?from_action=save

Leithold, L. (1978). El cálculo con geometría analítica (segunda; J. Villamizar, Ed.). México: HARLA S.A. de C.V.

Martins, M. (2010). Historia del Análisis Matemático. Recuperado de https://www.ugr.es/~mmartins/material/Historia_parte_2.pdf

Miranda, D. (2017). Límites aplicados en la Ingenieria Mecatrónica.